Umformen und Lösen von Gleichungen in einer Variablen

Inhalt

• Einführung
• Gleichungen
  • Zusammenfassen/Vereinfachen
  • Umformen
  • Umformen mit Bedingungen/Einsetzen in Gleichungen
• Tricks

Einführung

Je älter ihr werdet, desto weniger oft werdet ihr mit bekannten Zahlen rechnen. Das wird umso schlimmer, wenn ihr ein wissenschaftliches Fachgebiet, oder - Gott bewahre - Mathematik selbst studieren wollt. Ihr solltet euch also lieber schnell daran gewöhnen mit Buchstaben zu rechnen.

Bevor wir allerdings loslegen können, müssen wir einige wichtige Fachbegriffe erklären;

• "Variable" => Eine unbekannte Zahl, die man mit einem Buchstaben bezeichnet (z.B.: a, b, x, y, ...)
• "Term" => Eine Anreihung von Zahlen und mathematischen Zeichen (z.B.: 5x + 3, 2 - 5 oder einfach x)
• "Gleichung" => Zwei mathematische Terme, die durch ein "=" ("Ist gleich" oder "Gleichheitszeichen") getrennt sind

Außerdem: wenn neben einem Buchstaben ein anderer Buchstabe oder eine Zahl steht, dann werden sie miteinander multipliziert (mal gerechnet). Zum Beispiel $5x$ bedeutet nichts anderes als $5 \cdot x$, also "5 mal die Varibale x".

Die schlauen Füchse unter euch werden bereits gemerkt haben, dass das Ergebnis der Rechnung $5 \cdot x$ davon abhängig ist, um welche Zahl es sich bei $x$ konkret handelt. Für die dummen Füchse unter euch habe ich folgende Tabelle vorbereitet:

$5x$	5	10	15	20	25
$x$	1	2	3	4	5

Mit anderen Worten: egal welche Zahl wir für $x$ einsetzen, das Ergebnis ist immer das 5-fache davon!
Das lässt sich auch anders veranschaulichen, denn das ist nichts anderes als die Funktion $f(x) = 5 x$

*Übrigens: Bei Funktionen sind $y$ und $f(x)$ für gewöhnlich das Gleiche - das wird euch später in komplizierteren Aufgaben helfen, also nicht vergessen!

Gleichungen

Aber kommen wir zurück zu Gleichungen. Ihr werdet sehr oft, vor allem in Textaufgaben, damit konfrontiert sein, eine zunächst unbekannte Variable bestimmen zu müssen. Das heißt, ihr habt Anfangsbedingungen gegeben und eine Variable ist gesucht.
Im Allgemeinen ist es so, dass ihr, egal welche Gleichung ihr habt, diese auch lösen könnt (z.B. nach einer oder mehreren Variablen), wenn ihr genug Informationen habt und euch schlau anstellt.

Das hier ist ein Beispiel, bei denen ihr gar keine Bedingungen gegeben haben müsst um es zu lösen. Hier müsst ihr nur umformen.

$2 x + 3 x - 3 = 9$
(Gesprochen: "2 x plus 3 x minus 3 ist gleich 9.")

Aber was heißt es eine Gleichungen "umzuformen" (auch bekannt als äquivalentes Umformen)?

Ganz einfach: ihr führt Rechenoperationen $(+, -, \cdot, \div, a^b, \sqrt[b]{a}, \log_{a})$ aus, aber immer genau gleich und auf beiden Seiten. Damit könnt ihr entweder Zahlen oder Buchstaben "eliminieren", oder zusammenfassen.

Zusammenfassen/Vereinfachen

Angenommen, ihr habt etwas wie $7 x - 3 x = 2$ dann könnt ihr sofort die beiden Terme mit $x$ zusammenfassen, denn das ist das Gleiche, wie als würde man Zahlen addieren/subtrahieren und ihr erhaltet die Gleichung

$(7 - 3)x = 2 \Rightarrow 4x = 2$

Manchmal habt ihr aber auch etwas wie $2 \cdot 2 x = 5$. Hier könnt ihr stattdessen direkt die linke Seite "ausrechnen", um $4 x = 5$ zu erhalten, wodurch das ganze schon viel übersichtlicher aussieht.

*ABER: Wenn ihr zum Beispiel etwas habt wie $5x + 2y = 13$ dürft ihr nicht einfach zu $7x$, $7y$ oder $7xy$ vereinfachen!! Denn die Variablen $x, y$ repräsentieren unterschiedliche Dinge.

Stellt euch das so vor: Ihr habt 5 Äpfel und 2 Mumien. Was sollen dann 5 Äpfel + 2 Mumien sein? 7 Apfelmumien???? --> ergibt keinen Sinn.

Umformen

Das Ziel ist immer, dass auf einer Seite der Gleichung die von euch gesuchte Variable alleine steht. Angenommen ihr habt etwas wie $-2y + x = 3x \cdot 2$ und ihr müsst nach $x$ auflösen. Sehr hässlich. Dann können wir Umformen, indem wir auf beiden Seiten etwas schlaues rechnen. Zunächst sehen wir direkt, dass wir die rechte Seite zu $6 x$ zusammenfassen können.

$-2y + x = 6 x$

Auf beiden Seiten ein $x$ - was nun? Einfach das $x$ auf die andere Seite ziehen, indem wir das Gegenteil von $+ x$ (auf der linken Seite) rechnen.

$$\begin{align*} -2y + x &= 6 x &(-x) \\ -2y + x - x &= 6 x - x \\ -2y &= 5 x \\ \end{align*}$$

Jetzt müssen wir nur noch die lästige 5 von dem $x$ wegbekommen. Auch hier werden wir das Gegenteil rechnen, daber nicht von $+ x$, sondern von $\cdot 5$, denn $5x = 5 \cdot x$. Und es stehen schon, wie gewünscht, alle $x$ auf einer Seite;

$$\begin{align*} -2y &= 5 x &(:5) \\ -\frac{2}{5} y &= \frac{5}{5} x \\ \underline{\underline{-\frac{2}{5} y}} &= x \\ \end{align*}$$

*Tipp: Jede beliebige Zahl $a$ geteilt durch sich selbst ergibt 1!

Wie lösen wir also eine Gleichung nach $x$ auf? Wir verinfachen und formen so lange um, bis nur noch $x = ...$ da steht! Lösen wir doch mal unser Beispiel von oben:

$$\begin{align*} 2x + 3 x - 3 &= 9 \\ 5 x - 3 &= 9 &(+ 3) \\ 5 x - 3 + 3 &= 9 + 3 \\ 5 x &= 12 &(: 5) \\ \frac{5}{5} x &= \frac{12}{5} \\ x &= \underline{\underline{\frac{12}{5}}} \\ \end{align*}$$

Und nun wissen wir das vorher unbekannte $x$ ist gleich $\frac{12}{5}$. Die Aufgabe ist gelöst.

Umformen mit Bedingungen/Einsetzen in Gleichungen

Manchmal will euer Lehrer, dass ihr ganz bestimmte Formeln auswendig wisst, um konkrete Sachen auszurechnen. Ich möchte im folgenden also ein paar solcher Aufgaben, am Beispiel der Eigenschaften eines Kreises erklären.

Sehr oft läuft es einfach darauf hinaus, dass ihr darüber nachdenken müsst, was ihr gegeben habt, und was ihr sucht. Angenommen, wir haben einen Kreis mit Radius $r = 5$LE (LE = Längeneinheiten, FE = Flächeneinheiten) gegeben und ihr sollt den Umfang berechnen. Euch sollten innerhalb von 3 Nanosekunden folgende Formeln eingefallen sein:

$$\begin{align*} U &= 2 \pi r &= \pi d \\ A &= \pi r^2 &= \frac{\pi}{4}d^2 \\ \end{align*}$$

Wir haben also alle diese Formeln gegeben und $r = 5$LE, aber wie rechnen wir jetzt den Umfang $U$ aus? Wir suchen in den Formeln einfach nach einer, wo sowohl $U$ (Was wir ausrechnen wollen) und $r$ (was wir gegeben haben) vorkommt, zum Beispiel $U = 2 \pi r$.
Als nächstes setzen wir alles in die Gleichung ein, was wir wissen:

$$\begin{align*} U &= 2 \pi r &(r = 5) \\ U &= 2 \pi 5 \\ U &= \underline{\underline{10 \pi}} \\ &\approx \underline{\underline{31,42}} \end{align*}$$

*Achtung: natürlich sollt ihr 5 LE einsetzen und das Ergebnis ebenfalls in LE angeben, aber LaTeX (so schreibe ich die mathematischen Ausdrücke) spackt gerade rum

Und damit sind wir fertig, denn wir haben genau die Form, die wir wollen ($x = ...$, nur, dass wir ja hier nach $U$ suchen).

Im folgenden Beispiel werden wir aber noch umformen müssen. Gegeben sei ein Kreis mit dem Flächeninhalt $A = \frac{11}{7}$FE. Da wir schlau sind, nehmen wir direkt die korrekte Formel zur Hand und setzen unseren gegebenen Wert ein:

$$\begin{align*} A &= \pi r^2 &(A = \frac{11}{7}) \\ \\ \frac{11}{7} &= \pi r^2 &(: \pi) \\ \\ \frac{11}{7 \pi} &= r^2 &\left(\sqrt{()}\right) \\ \\ \sqrt{\frac{11}{7 \pi}} &= \sqrt{r^2} \\ \underline{\underline{\sqrt{\frac{11}{7 \pi}}}} &= r \end{align*}$$

*Tipp: Das gegenteil zu $a^2$ ist $\sqrt{a}$, deshalb ist $\sqrt{a^2} = a$. Im Allgemeinen gilt das für alle Potenzen und Wurzeln in folgender Weise: $\sqrt[b]{a^b} = a$.
($\sqrt{a}$ = $\sqrt[2]{a}$)

Tricks

Eines Tages werde ich hier Tricks wie eine "schlaue 1" oder "schlaue 0" genauer erklären.